home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ io Programmo 60 / IOPROG_60.ISO / soft / c++ / gsl-1.1.1-setup.exe / {app} / src / specfunc / legendre_con.c < prev    next >
Encoding:
C/C++ Source or Header  |  2002-04-18  |  42.9 KB  |  1,374 lines
  1. /* specfunc/legendre_con.c
  2.  * 
  3.  * Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 Gerard Jungman
  4.  * 
  5.  * This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  6.  * it under the terms of the GNU General Public License as published by
  7.  * the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at
  8.  * your option) any later version.
  9.  * 
  10.  * This program is distributed in the hope that it will be useful, but
  11.  * WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  12.  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
  13.  * General Public License for more details.
  14.  * 
  15.  * You should have received a copy of the GNU General Public License
  16.  * along with this program; if not, write to the Free Software
  17.  * Foundation, Inc., 675 Mass Ave, Cambridge, MA 02139, USA.
  18.  */
  19.  
  20. /* Author:  G. Jungman */
  21.  
  22. #include <config.h>
  23. #include <gsl/gsl_math.h>
  24. #include <gsl/gsl_errno.h>
  25. #include <gsl/gsl_poly.h>
  26. #include <gsl/gsl_sf_exp.h>
  27. #include <gsl/gsl_sf_trig.h>
  28. #include <gsl/gsl_sf_gamma.h>
  29. #include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
  30. #include <gsl/gsl_sf_pow_int.h>
  31. #include <gsl/gsl_sf_bessel.h>
  32. #include <gsl/gsl_sf_hyperg.h>
  33. #include <gsl/gsl_sf_legendre.h>
  34.  
  35. #include "error.h"
  36. #include "legendre.h"
  37.  
  38. #define Root_2OverPi_  0.797884560802865355879892
  39. #define locEPS         (1000.0*GSL_DBL_EPSILON)
  40.  
  41.  
  42. /*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Private Section *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*/
  43.  
  44.  
  45. #define RECURSE_LARGE  (1.0e-5*GSL_DBL_MAX)
  46. #define RECURSE_SMALL  (1.0e+5*GSL_DBL_MIN)
  47.  
  48.  
  49. /* Continued fraction for f_{ell+1}/f_ell
  50.  * f_ell := P^{-mu-ell}_{-1/2 + I tau}(x),  x < 1.0
  51.  *
  52.  * Uses standard CF method from Temme's book.
  53.  */
  54. static
  55. int
  56. conicalP_negmu_xlt1_CF1(const double mu, const int ell, const double tau,
  57.                         const double x, gsl_sf_result * result)
  58. {
  59.   const double RECUR_BIG = GSL_SQRT_DBL_MAX;
  60.   const int maxiter = 5000;
  61.   int n = 1;
  62.   double xi = x/(sqrt(1.0-x)*sqrt(1.0+x));
  63.   double Anm2 = 1.0;
  64.   double Bnm2 = 0.0;
  65.   double Anm1 = 0.0;
  66.   double Bnm1 = 1.0;
  67.   double a1 = 1.0;
  68.   double b1 = 2.0*(mu + ell + 1.0) * xi;
  69.   double An = b1*Anm1 + a1*Anm2;
  70.   double Bn = b1*Bnm1 + a1*Bnm2;
  71.   double an, bn;
  72.   double fn = An/Bn;
  73.  
  74.   while(n < maxiter) {
  75.     double old_fn;
  76.     double del;
  77.     n++;
  78.     Anm2 = Anm1;
  79.     Bnm2 = Bnm1;
  80.     Anm1 = An;
  81.     Bnm1 = Bn;
  82.     an = tau*tau + (mu - 0.5 + ell + n)*(mu - 0.5 + ell + n);
  83.     bn = 2.0*(ell + mu + n) * xi;
  84.     An = bn*Anm1 + an*Anm2;
  85.     Bn = bn*Bnm1 + an*Bnm2;
  86.  
  87.     if(fabs(An) > RECUR_BIG || fabs(Bn) > RECUR_BIG) {
  88.       An /= RECUR_BIG;
  89.       Bn /= RECUR_BIG;
  90.       Anm1 /= RECUR_BIG;
  91.       Bnm1 /= RECUR_BIG;
  92.       Anm2 /= RECUR_BIG;
  93.       Bnm2 /= RECUR_BIG;
  94.     }
  95.  
  96.     old_fn = fn;
  97.     fn = An/Bn;
  98.     del = old_fn/fn;
  99.     
  100.     if(fabs(del - 1.0) < 2.0*GSL_DBL_EPSILON) break;
  101.   }
  102.  
  103.   result->val = fn;
  104.   result->err = 4.0 * GSL_DBL_EPSILON * (sqrt(n) + 1.0) * fabs(fn);
  105.  
  106.   if(n >= maxiter)
  107.     GSL_ERROR ("error", GSL_EMAXITER);
  108.   else
  109.     return GSL_SUCCESS;
  110. }
  111.  
  112.  
  113. /* Continued fraction for f_{ell+1}/f_ell
  114.  * f_ell := P^{-mu-ell}_{-1/2 + I tau}(x),  x >= 1.0
  115.  *
  116.  * Uses Gautschi (Euler) equivalent series.
  117.  */
  118. static
  119. int
  120. conicalP_negmu_xgt1_CF1(const double mu, const int ell, const double tau,
  121.                         const double x, gsl_sf_result * result)
  122. { 
  123.   const int maxk = 20000;
  124.   const double gamma = 1.0-1.0/(x*x);
  125.   const double pre = sqrt(x-1.0)*sqrt(x+1.0) / (x*(2.0*(ell+mu+1.0)));
  126.   double tk   = 1.0;
  127.   double sum  = 1.0;
  128.   double rhok = 0.0;
  129.   int k;
  130.  
  131.   for(k=1; k<maxk; k++) {
  132.     double tlk = 2.0*(ell + mu + k);
  133.     double l1k = (ell + mu - 0.5 + 1.0 + k);
  134.     double ak = -(tau*tau + l1k*l1k)/(tlk*(tlk+2.0)) * gamma;
  135.     rhok = -ak*(1.0 + rhok)/(1.0 + ak*(1.0 + rhok));
  136.     tk  *= rhok;
  137.     sum += tk;
  138.     if(fabs(tk/sum) < GSL_DBL_EPSILON) break;
  139.   }
  140.  
  141.   result->val  = pre * sum;
  142.   result->err  = fabs(pre * tk);
  143.   result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * (sqrt(k) + 1.0) * fabs(pre*sum);
  144.  
  145.   if(k >= maxk)
  146.     GSL_ERROR ("error", GSL_EMAXITER);
  147.   else
  148.     return GSL_SUCCESS;
  149. }
  150.  
  151.  
  152. /* Implementation of large negative mu asymptotic
  153.  * [Dunster, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 119A, 311 (1991), p. 326]
  154.  */
  155.  
  156. inline
  157. static double olver_U1(double beta2, double p)
  158. {
  159.   return (p-1.0)/(24.0*(1.0+beta2)) * (3.0 + beta2*(2.0 + 5.0*p*(1.0+p)));
  160. }
  161.  
  162. inline
  163. static double olver_U2(double beta2, double p)
  164. {
  165.   double beta4 = beta2*beta2;
  166.   double p2    = p*p;
  167.   double poly1 =  4.0*beta4 + 84.0*beta2 - 63.0;
  168.   double poly2 = 16.0*beta4 + 90.0*beta2 - 81.0;
  169.   double poly3 = beta2*p2*(97.0*beta2 - 432.0 + 77.0*p*(beta2-6.0) - 385.0*beta2*p2*(1.0 + p));
  170.   return (1.0-p)/(1152.0*(1.0+beta2)) * (poly1 + poly2 + poly3);
  171. }
  172.  
  173. static const double U3c1[] = {   -1307.0,   -1647.0,    3375.0,    3675.0 };
  174. static const double U3c2[] = {   29366.0,   35835.0, -252360.0, -272630.0,
  175.                                 276810.0,  290499.0 };
  176. static const double U3c3[] = {  -29748.0,   -8840.0, 1725295.0, 1767025.0,
  177.                               -7313470.0, -754778.0, 6309875.0, 6480045.0 };
  178. static const double U3c4[] = {    2696.0,    -16740.0,   -524250.0,  -183975.0,
  179.                               14670540.0,  14172939.0, -48206730.0, -48461985.0,
  180.                   36756720.0,  37182145.0 };
  181. static const double U3c5[] = {       9136.0,      22480.0,     12760.0,
  182.                                   -252480.0,   -4662165.0,   -1705341.0,
  183.                  92370135.0,   86244015.0, -263678415.0,
  184.                    -260275015.0, 185910725.0,  185910725.0 };
  185.  
  186. #if 0
  187. static double olver_U3(double beta2, double p)
  188. {
  189.   double beta4 = beta2*beta2;
  190.   double beta6 = beta4*beta2;
  191.   double opb2s = (1.0+beta2)*(1.0+beta2);
  192.   double den   = 39813120.0 * opb2s*opb2s;
  193.   double poly1 = gsl_poly_eval(U3c1, 4, p);
  194.   double poly2 = gsl_poly_eval(U3c2, 6, p);
  195.   double poly3 = gsl_poly_eval(U3c3, 8, p);
  196.   double poly4 = gsl_poly_eval(U3c4, 10, p);
  197.   double poly5 = gsl_poly_eval(U3c5, 12, p);
  198.   
  199.   return (p-1.0)*(     1215.0*poly1 + 324.0*beta2*poly2
  200.                  + 54.0*beta4*poly3 +  12.0*beta6*poly4
  201.          + beta4*beta4*poly5
  202.          ) / den;
  203. }
  204. #endif /* 0 */
  205.  
  206.  
  207. /* Large negative mu asymptotic
  208.  * P^{-mu}_{-1/2 + I tau}, mu -> Inf
  209.  * |x| < 1
  210.  *
  211.  * [Dunster, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 119A, 311 (1991), p. 326]
  212.  */
  213. int
  214. gsl_sf_conicalP_xlt1_large_neg_mu_e(double mu, double tau, double x,
  215.                                        gsl_sf_result * result, double * ln_multiplier)
  216. {
  217.   double beta  = tau/mu;
  218.   double beta2 = beta*beta;
  219.   double S     = beta * acos((1.0-beta2)/(1.0+beta2));
  220.   double p     = x/sqrt(beta2*(1.0-x*x) + 1.0);
  221.   gsl_sf_result lg_mup1;
  222.   int lg_stat = gsl_sf_lngamma_e(mu+1.0, &lg_mup1);
  223.   double ln_pre_1 =  0.5*mu*(S - log(1.0+beta2) + log((1.0-p)/(1.0+p))) - lg_mup1.val;
  224.   double ln_pre_2 = -0.25 * log(1.0 + beta2*(1.0-x));
  225.   double ln_pre_3 = -tau * atan(p*beta);
  226.   double ln_pre = ln_pre_1 + ln_pre_2 + ln_pre_3;
  227.   double sum   = 1.0 - olver_U1(beta2, p)/mu + olver_U2(beta2, p)/(mu*mu);
  228.  
  229.   if(sum == 0.0) {
  230.     result->val = 0.0;
  231.     result->err = 0.0;
  232.     *ln_multiplier = 0.0;
  233.     return GSL_SUCCESS;
  234.   }
  235.   else {
  236.     int stat_e = gsl_sf_exp_mult_e(ln_pre, sum, result);
  237.     if(stat_e != GSL_SUCCESS) {
  238.       result->val = sum;
  239.       result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(sum);
  240.       *ln_multiplier = ln_pre;
  241.     }
  242.     else {
  243.       *ln_multiplier = 0.0;
  244.     }
  245.     return lg_stat;
  246.   }
  247. }
  248.  
  249.  
  250. /* Implementation of large tau asymptotic
  251.  *
  252.  * A_n^{-mu}, B_n^{-mu}  [Olver, p.465, 469]
  253.  */
  254.  
  255. inline
  256. static double olver_B0_xi(double mu, double xi)
  257. {
  258.   return (1.0 - 4.0*mu*mu)/(8.0*xi) * (1.0/tanh(xi) - 1.0/xi);
  259. }
  260.  
  261. static double olver_A1_xi(double mu, double xi, double x)
  262. {
  263.   double B = olver_B0_xi(mu, xi);
  264.   double psi;
  265.   if(fabs(x - 1.0) < GSL_ROOT4_DBL_EPSILON) {
  266.     double y = x - 1.0;
  267.     double s = -1.0/3.0 + y*(2.0/15.0 - y *(61.0/945.0 - 452.0/14175.0*y));
  268.     psi = (4.0*mu*mu - 1.0)/16.0 * s;
  269.   }
  270.   else {
  271.     psi = (4.0*mu*mu - 1.0)/16.0 * (1.0/(x*x-1.0) - 1.0/(xi*xi));
  272.   }
  273.   return 0.5*xi*xi*B*B + (mu+0.5)*B - psi + mu/6.0*(0.25 - mu*mu);
  274. }
  275.  
  276. inline
  277. static double olver_B0_th(double mu, double theta)
  278. {
  279.   return -(1.0 - 4.0*mu*mu)/(8.0*theta) * (1.0/tan(theta) - 1.0/theta);
  280. }
  281.  
  282. static double olver_A1_th(double mu, double theta, double x)
  283. {
  284.   double B = olver_B0_th(mu, theta);
  285.   double psi;
  286.   if(fabs(x - 1.0) < GSL_ROOT4_DBL_EPSILON) {
  287.     double y = 1.0 - x;
  288.     double s = -1.0/3.0 + y*(2.0/15.0 - y *(61.0/945.0 - 452.0/14175.0*y));
  289.     psi = (4.0*mu*mu - 1.0)/16.0 * s;
  290.   }
  291.   else {
  292.     psi = (4.0*mu*mu - 1.0)/16.0 * (1.0/(x*x-1.0) + 1.0/(theta*theta));
  293.   }
  294.   return -0.5*theta*theta*B*B + (mu+0.5)*B - psi + mu/6.0*(0.25 - mu*mu);
  295. }
  296.  
  297.  
  298. /* Large tau uniform asymptotics
  299.  * P^{-mu}_{-1/2 + I tau}
  300.  * 1 < x
  301.  * tau -> Inf 
  302.  * [Olver, p. 469]
  303.  */
  304. int
  305. gsl_sf_conicalP_xgt1_neg_mu_largetau_e(const double mu, const double tau,
  306.                                           const double x, double acosh_x,
  307.                                           gsl_sf_result * result, double * ln_multiplier)
  308. {
  309.   double xi = acosh_x;
  310.   double ln_xi_pre;
  311.   double ln_pre;
  312.   double sumA, sumB, sum;
  313.   double arg;
  314.   gsl_sf_result J_mup1;
  315.   gsl_sf_result J_mu;
  316.   double J_mum1;
  317.  
  318.   if(xi < GSL_ROOT4_DBL_EPSILON) {
  319.     ln_xi_pre = -xi*xi/6.0;           /* log(1.0 - xi*xi/6.0) */
  320.   }
  321.   else {
  322.     gsl_sf_result lnshxi;
  323.     gsl_sf_lnsinh_e(xi, &lnshxi);
  324.     ln_xi_pre = log(xi) - lnshxi.val;     /* log(xi/sinh(xi) */
  325.   }
  326.  
  327.   ln_pre = 0.5*ln_xi_pre - mu*log(tau);
  328.  
  329.   arg = tau*xi;
  330.  
  331.   gsl_sf_bessel_Jnu_e(mu + 1.0,   arg, &J_mup1);
  332.   gsl_sf_bessel_Jnu_e(mu,         arg, &J_mu);
  333.   J_mum1 = -J_mup1.val + 2.0*mu/arg*J_mu.val;      /* careful of mu < 1 */
  334.  
  335.   sumA = 1.0 - olver_A1_xi(-mu, xi, x)/(tau*tau);
  336.   sumB = olver_B0_xi(-mu, xi);
  337.   sum  = J_mu.val * sumA - xi/tau * J_mum1 * sumB;
  338.  
  339.   if(sum == 0.0) {
  340.     result->val = 0.0;
  341.     result->err = 0.0;
  342.     *ln_multiplier = 0.0;
  343.     return GSL_SUCCESS;
  344.   }
  345.   else {
  346.     int stat_e = gsl_sf_exp_mult_e(ln_pre, sum, result);
  347.     if(stat_e != GSL_SUCCESS) {
  348.       result->val = sum;
  349.       result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(sum);
  350.       *ln_multiplier = ln_pre;
  351.     }
  352.     else {
  353.       *ln_multiplier = 0.0;
  354.     }
  355.     return GSL_SUCCESS;
  356.   }
  357. }
  358.  
  359.  
  360. /* Large tau uniform asymptotics
  361.  * P^{-mu}_{-1/2 + I tau}
  362.  * -1 < x < 1
  363.  * tau -> Inf 
  364.  * [Olver, p. 473]
  365.  */
  366. int
  367. gsl_sf_conicalP_xlt1_neg_mu_largetau_e(const double mu, const double tau,
  368.                                           const double x, const double acos_x,
  369.                                           gsl_sf_result * result, double * ln_multiplier)
  370. {
  371.   double theta = acos_x;
  372.   double ln_th_pre;
  373.   double ln_pre;
  374.   double sumA, sumB, sum, sumerr;
  375.   double arg;
  376.   gsl_sf_result I_mup1, I_mu;
  377.   double I_mum1;
  378.  
  379.   if(theta < GSL_ROOT4_DBL_EPSILON) {
  380.     ln_th_pre = theta*theta/6.0;   /* log(1.0 + theta*theta/6.0) */
  381.   }
  382.   else {
  383.     ln_th_pre = log(theta/sin(theta));
  384.   }
  385.  
  386.   ln_pre = 0.5 * ln_th_pre - mu * log(tau);
  387.  
  388.   arg = tau*theta;
  389.   gsl_sf_bessel_Inu_e(mu + 1.0,   arg, &I_mup1);
  390.   gsl_sf_bessel_Inu_e(mu,         arg, &I_mu);
  391.   I_mum1 = I_mup1.val + 2.0*mu/arg * I_mu.val; /* careful of mu < 1 */
  392.  
  393.   sumA = 1.0 - olver_A1_th(-mu, theta, x)/(tau*tau);
  394.   sumB = olver_B0_th(-mu, theta);
  395.   sum  = I_mu.val * sumA - theta/tau * I_mum1 * sumB;
  396.   sumerr  = fabs(I_mu.err * sumA);
  397.   sumerr += fabs(I_mup1.err * theta/tau * sumB);
  398.   sumerr += fabs(I_mu.err   * theta/tau * sumB * 2.0 * mu/arg);
  399.  
  400.   if(sum == 0.0) {
  401.     result->val = 0.0;
  402.     result->err = 0.0;
  403.     *ln_multiplier = 0.0;
  404.     return GSL_SUCCESS;
  405.   }
  406.   else {
  407.     int stat_e = gsl_sf_exp_mult_e(ln_pre, sum, result);
  408.     if(stat_e != GSL_SUCCESS) {
  409.       result->val  = sum;
  410.       result->err  = sumerr;
  411.       result->err += GSL_DBL_EPSILON * fabs(sum);
  412.       *ln_multiplier = ln_pre;
  413.     }
  414.     else {
  415.       *ln_multiplier = 0.0;
  416.     }
  417.     return GSL_SUCCESS;
  418.   }
  419. }
  420.  
  421.  
  422. /* Hypergeometric function which appears in the
  423.  * large x expansion below:
  424.  *
  425.  *   2F1(1/4 - mu/2 - I tau/2, 3/4 - mu/2 - I tau/2, 1 - I tau, y)
  426.  *
  427.  * Note that for the usage below y = 1/x^2;
  428.  */
  429. static
  430. int
  431. conicalP_hyperg_large_x(const double mu, const double tau, const double y,
  432.                         double * reF, double * imF)
  433. {
  434.   const int kmax = 1000;
  435.   const double re_a = 0.25 - 0.5*mu;
  436.   const double re_b = 0.75 - 0.5*mu;
  437.   const double re_c = 1.0;
  438.   const double im_a = -0.5*tau;
  439.   const double im_b = -0.5*tau;
  440.   const double im_c = -tau;
  441.  
  442.   double re_sum = 1.0;
  443.   double im_sum = 0.0;
  444.   double re_term = 1.0;
  445.   double im_term = 0.0;
  446.   int k;
  447.  
  448.   for(k=1; k<=kmax; k++) {
  449.     double re_ak = re_a + k - 1.0;
  450.     double re_bk = re_b + k - 1.0;
  451.     double re_ck = re_c + k - 1.0;
  452.     double im_ak = im_a;
  453.     double im_bk = im_b;
  454.     double im_ck = im_c;
  455.     double den = re_ck*re_ck + im_ck*im_ck;
  456.     double re_multiplier = ((re_ak*re_bk - im_ak*im_bk)*re_ck + im_ck*(im_ak*re_bk + re_ak*im_bk)) / den;
  457.     double im_multiplier = ((im_ak*re_bk + re_ak*im_bk)*re_ck - im_ck*(re_ak*re_bk - im_ak*im_bk)) / den;
  458.     double re_tmp = re_multiplier*re_term - im_multiplier*im_term;
  459.     double im_tmp = im_multiplier*re_term + re_multiplier*im_term;
  460.     double asum = fabs(re_sum) + fabs(im_sum);
  461.     re_term = y/k * re_tmp;
  462.     im_term = y/k * im_tmp;
  463.     if(fabs(re_term/asum) < GSL_DBL_EPSILON && fabs(im_term/asum) < GSL_DBL_EPSILON) break;
  464.     re_sum += re_term;
  465.     im_sum += im_term;
  466.   }
  467.  
  468.   *reF = re_sum;
  469.   *imF = im_sum;
  470.  
  471.   if(k == kmax)
  472.     GSL_ERROR ("error", GSL_EMAXITER);
  473.   else  
  474.     return GSL_SUCCESS;
  475. }
  476.  
  477.  
  478. /* P^{mu}_{-1/2 + I tau}
  479.  * x->Inf
  480.  */
  481. int
  482. gsl_sf_conicalP_large_x_e(const double mu, const double tau, const double x,
  483.                              gsl_sf_result * result, double * ln_multiplier)
  484. {
  485.   /* 2F1 term
  486.    */
  487.   double y = ( x < 0.5*GSL_SQRT_DBL_MAX ? 1.0/(x*x) : 0.0 );
  488.   double reF, imF;
  489.   int stat_F = conicalP_hyperg_large_x(mu, tau, y, &reF, &imF);
  490.  
  491.   /* f = Gamma(+i tau)/Gamma(1/2 - mu + i tau)
  492.    * FIXME: shift so it's better for tau-> 0
  493.    */
  494.   gsl_sf_result lgr_num, lgth_num;
  495.   gsl_sf_result lgr_den, lgth_den;
  496.   int stat_gn = gsl_sf_lngamma_complex_e(0.0,tau,&lgr_num,&lgth_num);
  497.   int stat_gd = gsl_sf_lngamma_complex_e(0.5-mu,tau,&lgr_den,&lgth_den);
  498.  
  499.   double angle = lgth_num.val - lgth_den.val + atan2(imF,reF);
  500.  
  501.   double lnx   = log(x);
  502.   double lnxp1 = log(x+1.0);
  503.   double lnxm1 = log(x-1.0);
  504.   double lnpre_const = 0.5*M_LN2 - 0.5*M_LNPI;
  505.   double lnpre_comm = (mu-0.5)*lnx - 0.5*mu*(lnxp1 + lnxm1);
  506.   double lnpre_err  =   GSL_DBL_EPSILON * (0.5*M_LN2 + 0.5*M_LNPI)
  507.                       + GSL_DBL_EPSILON * fabs((mu-0.5)*lnx)
  508.               + GSL_DBL_EPSILON * fabs(0.5*mu)*(fabs(lnxp1)+fabs(lnxm1));
  509.  
  510.   /*  result = pre*|F|*|f| * cos(angle - tau * (log(x)+M_LN2))
  511.    */
  512.   gsl_sf_result cos_result;
  513.   int stat_cos = gsl_sf_cos_e(angle + tau*(log(x) + M_LN2), &cos_result);
  514.   int status = GSL_ERROR_SELECT_4(stat_cos, stat_gd, stat_gn, stat_F);
  515.   if(cos_result.val == 0.0) {
  516.     result->val = 0.0;
  517.     result->err = 0.0;
  518.     return status;
  519.   }
  520.   else {
  521.     double lnFf_val = 0.5*log(reF*reF+imF*imF) + lgr_num.val - lgr_den.val;
  522.     double lnFf_err = lgr_num.err + lgr_den.err + GSL_DBL_EPSILON * fabs(lnFf_val);
  523.     double lnnoc_val = lnpre_const + lnpre_comm + lnFf_val;
  524.     double lnnoc_err = lnpre_err + lnFf_err + GSL_DBL_EPSILON * fabs(lnnoc_val);
  525.     int stat_e = gsl_sf_exp_mult_err_e(lnnoc_val, lnnoc_err,
  526.                                           cos_result.val, cos_result.err,
  527.                                           result);
  528.     if(stat_e == GSL_SUCCESS) {
  529.       *ln_multiplier = 0.0;
  530.     }
  531.     else {
  532.       result->val  = cos_result.val;
  533.       result->err  = cos_result.err;
  534.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  535.       *ln_multiplier = lnnoc_val;
  536.     }
  537.     return status;
  538.   }
  539. }
  540.  
  541.  
  542. /* P^{mu}_{-1/2 + I tau}  first hypergeometric representation
  543.  * -1 < x < 1
  544.  * This is more effective for |x| small, however it will work w/o
  545.  * reservation for any x < 0 because everything is positive
  546.  * definite in that case.
  547.  *
  548.  * [Kolbig,   (3)] (note typo in args of gamma functions)
  549.  * [Bateman, (22)] (correct form)
  550.  */
  551. static
  552. int
  553. conicalP_xlt1_hyperg_A(double mu, double tau, double x, gsl_sf_result * result)
  554. {
  555.   double x2 = x*x;
  556.   double err_amp = 1.0 + 1.0/(GSL_DBL_EPSILON + fabs(1.0-fabs(x)));
  557.   double pre_val = M_SQRTPI / pow(0.5*sqrt(1-x2), mu);
  558.   double pre_err = err_amp * GSL_DBL_EPSILON * (fabs(mu)+1.0) * fabs(pre_val) ;
  559.   gsl_sf_result ln_g1, ln_g2, arg_g1, arg_g2;
  560.   gsl_sf_result F1, F2;
  561.   gsl_sf_result pre1, pre2;
  562.   double t1_val, t1_err;
  563.   double t2_val, t2_err;
  564.  
  565.   int stat_F1 = gsl_sf_hyperg_2F1_conj_e(0.25 - 0.5*mu, 0.5*tau, 0.5, x2, &F1);
  566.   int stat_F2 = gsl_sf_hyperg_2F1_conj_e(0.75 - 0.5*mu, 0.5*tau, 1.5, x2, &F2);
  567.   int status = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_F1, stat_F2);
  568.  
  569.   gsl_sf_lngamma_complex_e(0.75 - 0.5*mu, -0.5*tau, &ln_g1, &arg_g1);
  570.   gsl_sf_lngamma_complex_e(0.25 - 0.5*mu, -0.5*tau, &ln_g2, &arg_g2);
  571.  
  572.   gsl_sf_exp_err_e(-2.0*ln_g1.val, 2.0*ln_g1.err, &pre1);
  573.   gsl_sf_exp_err_e(-2.0*ln_g2.val, 2.0*ln_g2.err, &pre2);
  574.   pre2.val *= -2.0*x;
  575.   pre2.err *=  2.0*fabs(x);
  576.   pre2.err +=  GSL_DBL_EPSILON * fabs(pre2.val);
  577.  
  578.   t1_val = pre1.val * F1.val;
  579.   t1_err = fabs(pre1.val) * F1.err + pre1.err * fabs(F1.val);
  580.   t2_val = pre2.val * F2.val;
  581.   t2_err = fabs(pre2.val) * F2.err + pre2.err * fabs(F2.val);
  582.  
  583.   result->val  = pre_val * (t1_val + t2_val);
  584.   result->err  = pre_val * (t1_err + t2_err);
  585.   result->err += pre_err * fabs(t1_val + t2_val);
  586.   result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  587.  
  588.   return status;
  589. }
  590.  
  591.  
  592. /* P^{mu}_{-1/2 + I tau}
  593.  * defining hypergeometric representation
  594.  * [Abramowitz+Stegun, 8.1.2]
  595.  * 1 < x < 3
  596.  * effective for x near 1
  597.  *
  598.  */
  599. #if 0
  600. static
  601. int
  602. conicalP_def_hyperg(double mu, double tau, double x, double * result)
  603. {
  604.   double F;
  605.   int stat_F = gsl_sf_hyperg_2F1_conj_renorm_e(0.5, tau, 1.0-mu, 0.5*(1.0-x), &F);
  606.   *result = pow((x+1.0)/(x-1.0), 0.5*mu) * F;
  607.   return stat_F;
  608. }
  609. #endif /* 0 */
  610.  
  611.  
  612. /* P^{mu}_{-1/2 + I tau}  second hypergeometric representation
  613.  * [Zhurina+Karmazina, (3.1)] 
  614.  * -1 < x < 3
  615.  * effective for x near 1
  616.  *
  617.  */
  618. #if 0
  619. static
  620. int
  621. conicalP_xnear1_hyperg_C(double mu, double tau, double x, double * result)
  622. {
  623.   double ln_pre, arg_pre;
  624.   double ln_g1, arg_g1;
  625.   double ln_g2, arg_g2;
  626.   double F;
  627.  
  628.   int stat_F = gsl_sf_hyperg_2F1_conj_renorm_e(0.5+mu, tau, 1.0+mu, 0.5*(1.0-x), &F);
  629.  
  630.   gsl_sf_lngamma_complex_e(0.5+mu, tau, &ln_g1, &arg_g1);
  631.   gsl_sf_lngamma_complex_e(0.5-mu, tau, &ln_g2, &arg_g2);
  632.  
  633.   ln_pre  = mu*M_LN2 - 0.5*mu*log(fabs(x*x-1.0)) + ln_g1 - ln_g2;
  634.   arg_pre = arg_g1 - arg_g2;
  635.  
  636.   *result = exp(ln_pre) * F;
  637.   return stat_F;
  638. }
  639. #endif /* 0 */
  640.  
  641.  
  642. /* V0, V1 from Kolbig, m = 0
  643.  */
  644. static
  645. int
  646. conicalP_0_V(const double t, const double f, const double tau, const double sgn,
  647.              double * V0, double * V1)
  648. {
  649.   double C[8];
  650.   double T[8];
  651.   double H[8];
  652.   double V[12];
  653.   int i;
  654.   T[0] = 1.0;
  655.   H[0] = 1.0;
  656.   V[0] = 1.0;
  657.   for(i=1; i<=7; i++) {
  658.     T[i] = T[i-1] * t;
  659.     H[i] = H[i-1] * (t*f);
  660.   }
  661.   for(i=1; i<=11; i++) {
  662.     V[i] = V[i-1] * tau;
  663.   }
  664.  
  665.   C[0] = 1.0;
  666.   C[1] = (H[1]-1.0)/(8.0*T[1]);
  667.   C[2] = (9.0*H[2] + 6.0*H[1] - 15.0 - sgn*8.0*T[2])/(128.0*T[2]);
  668.   C[3] = 5.0*(15.0*H[3] + 27.0*H[2] + 21.0*H[1] - 63.0 - sgn*T[2]*(16.0*H[1]+24.0))/(1024.0*T[3]);
  669.   C[4] = 7.0*(525.0*H[4] + 1500.0*H[3] + 2430.0*H[2] + 1980.0*H[1] - 6435.0
  670.               + 192.0*T[4] - sgn*T[2]*(720.0*H[2]+1600.0*H[1]+2160.0)
  671.               ) / (32768.0*T[4]);
  672.   C[5] = 21.0*(2835.0*H[5] + 11025.0*H[4] + 24750.0*H[3] + 38610.0*H[2]
  673.                + 32175.0*H[1] - 109395.0 + T[4]*(1984.0*H[1]+4032.0)
  674.                - sgn*T[2]*(4800.0*H[3]+15120.0*H[2]+26400.0*H[1]+34320.0)
  675.            ) / (262144.0*T[5]);
  676.   C[6] = 11.0*(218295.0*H[6] + 1071630.0*H[5] + 3009825.0*H[4] + 6142500.0*H[3]
  677.                + 9398025.0*H[2] + 7936110.0*H[1] - 27776385.0
  678.            + T[4]*(254016.0*H[2]+749952.0*H[1]+1100736.0)
  679.            - sgn*T[2]*(441000.0*H[4] + 1814400.0*H[3] + 4127760.0*H[2]
  680.                      + 6552000.0*H[1] + 8353800.0 + 31232.0*T[4]
  681.              )
  682.                ) / (4194304.0*T[6]);
  683.  
  684.   *V0 = C[0] + (-4.0*C[3]/T[1]+C[4])/V[4]
  685.              + (-192.0*C[5]/T[3]+144.0*C[6]/T[2])/V[8]
  686.              + sgn * (-C[2]/V[2]
  687.                   + (-24.0*C[4]/T[2]+12.0*C[5]/T[1]-C[6])/V[6] 
  688.                   + (-1920.0*C[6]/T[4])/V[10]
  689.               );
  690.   *V1 = C[1]/V[1] + (8.0*(C[3]/T[2]-C[4]/T[1])+C[5])/V[5]
  691.                   + (384.0*C[5]/T[4] - 768.0*C[6]/T[3])/V[9]
  692.                   + sgn * ((2.0*C[2]/T[1]-C[3])/V[3]
  693.                    + (48.0*C[4]/T[3]-72.0*C[5]/T[2] + 18.0*C[6]/T[1])/V[7]
  694.                    + (3840.0*C[6]/T[5])/V[11]
  695.                    );
  696.  
  697.   return GSL_SUCCESS;
  698. }
  699.  
  700.  
  701. /* V0, V1 from Kolbig, m = 1
  702.  */
  703. static
  704. int
  705. conicalP_1_V(const double t, const double f, const double tau, const double sgn,
  706.              double * V0, double * V1)
  707. {
  708.   double Cm1;
  709.   double C[8];
  710.   double T[8];
  711.   double H[8];
  712.   double V[12];
  713.   int i;
  714.   T[0] = 1.0;
  715.   H[0] = 1.0;
  716.   V[0] = 1.0;
  717.   for(i=1; i<=7; i++) {
  718.     T[i] = T[i-1] * t;
  719.     H[i] = H[i-1] * (t*f);
  720.   }
  721.   for(i=1; i<=11; i++) {
  722.     V[i] = V[i-1] * tau;
  723.   }
  724.  
  725.   Cm1  = -1.0;
  726.   C[0] = 3.0*(1.0-H[1])/(8.0*T[1]);
  727.   C[1] = (-15.0*H[2]+6.0*H[1]+9.0+sgn*8.0*T[2])/(128.0*T[2]);
  728.   C[2] = 3.0*(-35.0*H[3] - 15.0*H[2] + 15.0*H[1] + 35.0 + sgn*T[2]*(32.0*H[1]+8.0))/(1024.0*T[3]);
  729.   C[3] = (-4725.0*H[4] - 6300.0*H[3] - 3150.0*H[2] + 3780.0*H[1] + 10395.0
  730.           -1216.0*T[4] + sgn*T[2]*(6000.0*H[2]+5760.0*H[1]+1680.0)) / (32768.0*T[4]);
  731.   C[4] = 7.0*(-10395.0*H[5] - 23625.0*H[4] - 28350.0*H[3] - 14850.0*H[2]
  732.               +19305.0*H[1] + 57915.0 - T[4]*(6336.0*H[1]+6080.0)
  733.           + sgn*T[2]*(16800.0*H[3] + 30000.0*H[2] + 25920.0*H[1] + 7920.0)
  734.           ) / (262144.0*T[5]);
  735.   C[5] = (-2837835.0*H[6] - 9168390.0*H[5] - 16372125.0*H[4] - 18918900*H[3]
  736.           -10135125.0*H[2] + 13783770.0*H[1] + 43648605.0
  737.       -T[4]*(3044160.0*H[2] + 5588352.0*H[1] + 4213440.0)
  738.       +sgn*T[2]*(5556600.0*H[4] + 14817600.0*H[3] + 20790000.0*H[2]
  739.                  + 17297280.0*H[1] + 5405400.0 + 323072.0*T[4]
  740.              )
  741.           ) / (4194304.0*T[6]);
  742.   C[6] = 0.0;
  743.  
  744.   *V0 = C[0] + (-4.0*C[3]/T[1]+C[4])/V[4]
  745.              + (-192.0*C[5]/T[3]+144.0*C[6]/T[2])/V[8]
  746.              + sgn * (-C[2]/V[2]
  747.                   + (-24.0*C[4]/T[2]+12.0*C[5]/T[1]-C[6])/V[6] 
  748.               );
  749.   *V1 = C[1]/V[1] + (8.0*(C[3]/T[2]-C[4]/T[1])+C[5])/V[5]
  750.                   + (384.0*C[5]/T[4] - 768.0*C[6]/T[3])/V[9]
  751.                   + sgn * (Cm1*V[1] + (2.0*C[2]/T[1]-C[3])/V[3]
  752.                    + (48.0*C[4]/T[3]-72.0*C[5]/T[2] + 18.0*C[6]/T[1])/V[7]
  753.                    );
  754.  
  755.   return GSL_SUCCESS;
  756. }
  757.  
  758.  
  759.  
  760. /*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Functions with Error Codes *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*/
  761.  
  762. /* P^0_{-1/2 + I lambda}
  763.  */
  764. int
  765. gsl_sf_conicalP_0_e(const double lambda, const double x, gsl_sf_result * result)
  766. {
  767.   /* CHECK_POINTER(result) */
  768.  
  769.   if(x <= -1.0) {
  770.     DOMAIN_ERROR(result);
  771.   }
  772.   else if(x == 1.0) {
  773.     result->val = 1.0;
  774.     result->err = 0.0;
  775.     return GSL_SUCCESS;
  776.   }
  777.   else if(lambda == 0.0) {
  778.     gsl_sf_result K;
  779.     int stat_K;
  780.     if(x < 1.0) {
  781.       const double th = acos(x);
  782.       const double s  = sin(0.5*th);
  783.       stat_K = gsl_sf_ellint_Kcomp_e(s, GSL_MODE_DEFAULT, &K);
  784.       result->val  = 2.0/M_PI * K.val;
  785.       result->err  = 2.0/M_PI * K.err;
  786.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  787.       return stat_K;
  788.     }
  789.     else {
  790.       const double xi = acosh(x);
  791.       const double c  = cosh(0.5*xi);
  792.       const double t  = tanh(0.5*xi);
  793.       stat_K = gsl_sf_ellint_Kcomp_e(t, GSL_MODE_DEFAULT, &K);
  794.       result->val  = 2.0/M_PI / c * K.val;
  795.       result->err  = 2.0/M_PI / c * K.err;
  796.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  797.       return stat_K;
  798.     }
  799.   }
  800.   else if(   (x <= 0.0 && lambda < 1000.0)
  801.           || (x <  0.1 && lambda < 17.0)
  802.       || (x <  0.2 && lambda < 5.0 )
  803.     ) {
  804.     return conicalP_xlt1_hyperg_A(0.0, lambda, x, result);
  805.   }
  806.   else if(   (x <= 0.2 && lambda < 17.0)
  807.           || (x <= 1.5 && lambda < 20.0)
  808.     ) {
  809.     return gsl_sf_hyperg_2F1_conj_e(0.5, lambda, 1.0, (1.0-x)/2, result);
  810.   }
  811.   else if(1.5 < x && lambda < GSL_MAX(x,20.0)) {
  812.     gsl_sf_result P;
  813.     double lm;
  814.     int stat_P = gsl_sf_conicalP_large_x_e(0.0, lambda, x,
  815.                                               &P, &lm
  816.                                               );
  817.     int stat_e = gsl_sf_exp_mult_err_e(lm, 2.0*GSL_DBL_EPSILON * fabs(lm),
  818.                           P.val, P.err,
  819.                           result);
  820.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_e, stat_P);
  821.   }
  822.   else {
  823.     double V0, V1;
  824.     if(x < 1.0) {
  825.       double th  = acos(x);
  826.       double sth = sqrt(1.0-x*x);  /* sin(th) */
  827.       gsl_sf_result I0, I1;
  828.       int stat_I0 = gsl_sf_bessel_I0_scaled_e(th * lambda, &I0);
  829.       int stat_I1 = gsl_sf_bessel_I1_scaled_e(th * lambda, &I1);
  830.       int stat_I  = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_I0, stat_I1);
  831.       int stat_V  = conicalP_0_V(th, x/sth, lambda, -1.0, &V0, &V1);
  832.       double bessterm = V0 * I0.val + V1 * I1.val;
  833.       double besserr  = fabs(V0) * I0.err + fabs(V1) * I1.err;
  834.       double arg1 = th*lambda;
  835.       double sqts = sqrt(th/sth);
  836.       int stat_e = gsl_sf_exp_mult_err_e(arg1, 4.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(arg1),
  837.                                             sqts * bessterm, sqts * besserr,
  838.                         result);
  839.       return GSL_ERROR_SELECT_3(stat_e, stat_V, stat_I);
  840.     }
  841.     else {
  842.       double sh = sqrt(x-1.0)*sqrt(x+1.0);  /* sinh(xi)      */
  843.       double xi = log(x + sh);              /* xi = acosh(x) */
  844.       gsl_sf_result J0, J1;
  845.       int stat_J0 = gsl_sf_bessel_J0_e(xi * lambda, &J0);
  846.       int stat_J1 = gsl_sf_bessel_J1_e(xi * lambda, &J1);
  847.       int stat_J  = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_J0, stat_J1);
  848.       int stat_V  = conicalP_0_V(xi, x/sh, lambda, 1.0, &V0, &V1);
  849.       double bessterm = V0 * J0.val + V1 * J1.val;
  850.       double besserr  = fabs(V0) * J0.err + fabs(V1) * J1.err;
  851.       double pre_val = sqrt(xi/sh);
  852.       double pre_err = 2.0 * fabs(pre_val);
  853.       result->val  = pre_val * bessterm;
  854.       result->err  = pre_val * besserr;
  855.       result->err += pre_err * fabs(bessterm);
  856.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  857.       return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_V, stat_J);
  858.     }
  859.   }
  860. }
  861.  
  862.  
  863. /* P^1_{-1/2 + I lambda}
  864.  */
  865. int
  866. gsl_sf_conicalP_1_e(const double lambda, const double x, gsl_sf_result * result)
  867. {
  868.   /* CHECK_POINTER(result) */
  869.  
  870.   if(x <= -1.0) {
  871.     DOMAIN_ERROR(result);
  872.   }
  873.   else if(lambda == 0.0) {
  874.     gsl_sf_result K, E;
  875.     int stat_K, stat_E;
  876.     if(x == 1.0) {
  877.       result->val = 0.0;
  878.       result->err = 0.0;
  879.       return GSL_SUCCESS;
  880.     }
  881.     else if(x < 1.0) {
  882.       if(1.0-x < GSL_SQRT_DBL_EPSILON) {
  883.         double err_amp = GSL_MAX_DBL(1.0, 1.0/(GSL_DBL_EPSILON + fabs(1.0-x)));
  884.         result->val = 0.25/M_SQRT2 * sqrt(1.0-x) * (1.0 + 5.0/16.0 * (1.0-x));
  885.     result->err = err_amp * 3.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  886.     return GSL_SUCCESS;
  887.       }
  888.       else {
  889.         const double th = acos(x);
  890.         const double s  = sin(0.5*th);
  891.         const double c2 = 1.0 - s*s;
  892.         const double sth = sin(th);
  893.     const double pre = 2.0/(M_PI*sth);
  894.         stat_K = gsl_sf_ellint_Kcomp_e(s, GSL_MODE_DEFAULT, &K);
  895.         stat_E = gsl_sf_ellint_Ecomp_e(s, GSL_MODE_DEFAULT, &E);
  896.         result->val  = pre * (E.val - c2 * K.val);
  897.     result->err  = pre * (E.err + fabs(c2) * K.err);
  898.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  899.         return stat_K;
  900.       }
  901.     }
  902.     else {
  903.       if(x-1.0 < GSL_SQRT_DBL_EPSILON) {
  904.         double err_amp = GSL_MAX_DBL(1.0, 1.0/(GSL_DBL_EPSILON + fabs(1.0-x)));
  905.         result->val = -0.25/M_SQRT2 * sqrt(x-1.0) * (1.0 - 5.0/16.0 * (x-1.0));
  906.     result->err = err_amp * 3.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  907.     return GSL_SUCCESS;
  908.       }
  909.       else {
  910.         const double xi = acosh(x);
  911.         const double c  = cosh(0.5*xi);
  912.         const double t  = tanh(0.5*xi);
  913.         const double sxi = sinh(xi);
  914.     const double pre = 2.0/(M_PI*sxi) * c;
  915.         stat_K = gsl_sf_ellint_Kcomp_e(t, GSL_MODE_DEFAULT, &K);
  916.         stat_E = gsl_sf_ellint_Ecomp_e(t, GSL_MODE_DEFAULT, &E);
  917.         result->val  = pre * (E.val - K.val);
  918.     result->err  = pre * (E.err + K.err);
  919.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  920.         return stat_K;
  921.       }
  922.     }
  923.   }
  924.   else if(   (x <= 0.0 && lambda < 1000.0)
  925.           || (x <  0.1 && lambda < 17.0)
  926.       || (x <  0.2 && lambda < 5.0 )
  927.     ) {
  928.     return conicalP_xlt1_hyperg_A(1.0, lambda, x, result);
  929.   }
  930.   else if(   (x <= 0.2 && lambda < 17.0)
  931.           || (x <  1.5 && lambda < 20.0)
  932.     ) {
  933.     const double arg = fabs(x*x - 1.0);
  934.     const double sgn = GSL_SIGN(1.0 - x);
  935.     const double pre = 0.5*(lambda*lambda + 0.25) * sgn * sqrt(arg);
  936.     gsl_sf_result F;
  937.     int stat_F = gsl_sf_hyperg_2F1_conj_e(1.5, lambda, 2.0, (1.0-x)/2, &F);
  938.     result->val  = pre * F.val;
  939.     result->err  = fabs(pre) * F.err;
  940.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  941.     return stat_F;
  942.   }
  943.   else if(1.5 <= x && lambda < GSL_MAX(x,20.0)) {
  944.     gsl_sf_result P;
  945.     double lm;
  946.     int stat_P = gsl_sf_conicalP_large_x_e(1.0, lambda, x,
  947.                                               &P, &lm
  948.                                               );
  949.     int stat_e = gsl_sf_exp_mult_err_e(lm, 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(lm),
  950.                           P.val, P.err,
  951.                           result);
  952.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_e, stat_P);
  953.   }
  954.   else {
  955.     double V0, V1;
  956.     if(x < 1.0) {
  957.       const double sqrt_1mx = sqrt(1.0 - x);
  958.       const double sqrt_1px = sqrt(1.0 + x);
  959.       const double th  = acos(x);
  960.       const double sth = sqrt_1mx * sqrt_1px;  /* sin(th) */
  961.       gsl_sf_result I0, I1;
  962.       int stat_I0 = gsl_sf_bessel_I0_scaled_e(th * lambda, &I0);
  963.       int stat_I1 = gsl_sf_bessel_I1_scaled_e(th * lambda, &I1);
  964.       int stat_I  = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_I0, stat_I1);
  965.       int stat_V  = conicalP_1_V(th, x/sth, lambda, -1.0, &V0, &V1);
  966.       double bessterm = V0 * I0.val + V1 * I1.val;
  967.       double besserr  =  fabs(V0) * I0.err + fabs(V1) * I1.err
  968.                        + 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(V0 * I0.val)
  969.                + 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(V1 * I1.val);
  970.       double arg1 = th * lambda;
  971.       double sqts = sqrt(th/sth);
  972.       int stat_e = gsl_sf_exp_mult_err_e(arg1, 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(arg1),
  973.                                             sqts * bessterm, sqts * besserr,
  974.                         result);
  975.       result->err *= 1.0/sqrt_1mx;
  976.       return GSL_ERROR_SELECT_3(stat_e, stat_V, stat_I);
  977.     }
  978.     else {
  979.       const double sqrt_xm1 = sqrt(x - 1.0);
  980.       const double sqrt_xp1 = sqrt(x + 1.0);
  981.       const double sh = sqrt_xm1 * sqrt_xp1;  /* sinh(xi)      */
  982.       const double xi = log(x + sh);          /* xi = acosh(x) */
  983.       const double xi_lam = xi * lambda;
  984.       gsl_sf_result J0, J1;
  985.       const int stat_J0 = gsl_sf_bessel_J0_e(xi_lam, &J0);
  986.       const int stat_J1 = gsl_sf_bessel_J1_e(xi_lam, &J1);
  987.       const int stat_J  = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_J0, stat_J1);
  988.       const int stat_V  = conicalP_1_V(xi, x/sh, lambda, 1.0, &V0, &V1);
  989.       const double bessterm = V0 * J0.val + V1 * J1.val;
  990.       const double besserr  = fabs(V0) * J0.err + fabs(V1) * J1.err
  991.                        + 512.0 * 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(V0 * J0.val)
  992.                + 512.0 * 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(V1 * J1.val)
  993.                        + GSL_DBL_EPSILON * fabs(xi_lam * V0 * J1.val)
  994.                        + GSL_DBL_EPSILON * fabs(xi_lam * V1 * J0.val);
  995.       const double pre = sqrt(xi/sh);
  996.       result->val  = pre * bessterm;
  997.       result->err  = pre * besserr * sqrt_xp1 / sqrt_xm1;
  998.       result->err += 4.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  999.       return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_V, stat_J);
  1000.     }
  1001.   }
  1002. }
  1003.  
  1004.  
  1005. /* P^{1/2}_{-1/2 + I lambda} (x)
  1006.  * [Abramowitz+Stegun 8.6.8, 8.6.12]
  1007.  * checked OK [GJ] Fri May  8 12:24:36 MDT 1998 
  1008.  */
  1009. int gsl_sf_conicalP_half_e(const double lambda, const double x,
  1010.                               gsl_sf_result * result
  1011.                               )
  1012. {
  1013.   /* CHECK_POINTER(result) */
  1014.  
  1015.   if(x <= -1.0) {
  1016.     DOMAIN_ERROR(result);
  1017.   }
  1018.   else if(x < 1.0) {
  1019.     double err_amp = 1.0 + 1.0/(GSL_DBL_EPSILON + fabs(1.0-fabs(x)));
  1020.     double ac  = acos(x);
  1021.     double den = sqrt(sqrt(1.0-x)*sqrt(1.0+x));
  1022.     result->val  = Root_2OverPi_ / den * cosh(ac * lambda);
  1023.     result->err  = err_amp * 3.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1024.     result->err *= fabs(ac * lambda) + 1.0;
  1025.     return GSL_SUCCESS;
  1026.   }
  1027.   else if(x == 1.0) {
  1028.     result->val = 0.0;
  1029.     result->err = 0.0;
  1030.     return GSL_SUCCESS;
  1031.   }
  1032.   else {
  1033.     /* x > 1 */
  1034.     double err_amp = 1.0 + 1.0/(GSL_DBL_EPSILON + fabs(1.0-fabs(x)));
  1035.     double sq_term = sqrt(x-1.0)*sqrt(x+1.0);
  1036.     double ln_term = log(x + sq_term);
  1037.     double den = sqrt(sq_term);
  1038.     double carg_val = lambda * ln_term;
  1039.     double carg_err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(carg_val);
  1040.     gsl_sf_result cos_result;
  1041.     int stat_cos = gsl_sf_cos_err_e(carg_val, carg_err, &cos_result);
  1042.     result->val  = Root_2OverPi_ / den * cos_result.val;
  1043.     result->err  = err_amp * Root_2OverPi_ / den * cos_result.err;
  1044.     result->err += 4.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1045.     return stat_cos;
  1046.   }
  1047. }
  1048.  
  1049.  
  1050. /* P^{-1/2}_{-1/2 + I lambda} (x)
  1051.  * [Abramowitz+Stegun 8.6.9, 8.6.14]
  1052.  * checked OK [GJ] Fri May  8 12:24:43 MDT 1998 
  1053.  */
  1054. int gsl_sf_conicalP_mhalf_e(const double lambda, const double x, gsl_sf_result * result)
  1055. {
  1056.   /* CHECK_POINTER(result) */
  1057.  
  1058.   if(x <= -1.0) {
  1059.     DOMAIN_ERROR(result);
  1060.   }
  1061.   else if(x < 1.0) {
  1062.     double ac  = acos(x);
  1063.     double den = sqrt(sqrt(1.0-x)*sqrt(1.0+x));
  1064.     double arg = ac * lambda;
  1065.     double err_amp = 1.0 + 1.0/(GSL_DBL_EPSILON + fabs(1.0-fabs(x)));
  1066.     if(fabs(arg) < GSL_SQRT_DBL_EPSILON) {
  1067.       result->val  = Root_2OverPi_ / den * ac;
  1068.       result->err  = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1069.       result->err *= err_amp;
  1070.     }
  1071.     else {
  1072.       result->val  = Root_2OverPi_ / (den*lambda) * sinh(arg);
  1073.       result->err  = GSL_DBL_EPSILON * (fabs(arg)+1.0) * fabs(result->val);
  1074.       result->err *= err_amp;
  1075.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1076.     }
  1077.     return GSL_SUCCESS;
  1078.   }
  1079.   else if(x == 1.0) {
  1080.     result->val = 0.0;
  1081.     result->err = 0.0;
  1082.     return GSL_SUCCESS;
  1083.   }
  1084.   else {
  1085.     /* x > 1 */
  1086.     double sq_term = sqrt(x-1.0)*sqrt(x+1.0);
  1087.     double ln_term = log(x + sq_term);
  1088.     double den = sqrt(sq_term);
  1089.     double arg_val = lambda * ln_term;
  1090.     double arg_err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(arg_val);
  1091.     if(arg_val < GSL_SQRT_DBL_EPSILON) {
  1092.       result->val = Root_2OverPi_ / den * ln_term;
  1093.       result->err = 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1094.       return GSL_SUCCESS;
  1095.     }
  1096.     else {
  1097.       gsl_sf_result sin_result;
  1098.       int stat_sin = gsl_sf_sin_err_e(arg_val, arg_err, &sin_result);
  1099.       result->val  = Root_2OverPi_ / (den*lambda) * sin_result.val;
  1100.       result->err  = Root_2OverPi_ / fabs(den*lambda) * sin_result.err;
  1101.       result->err += 3.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1102.       return stat_sin;
  1103.     }
  1104.   }
  1105. }
  1106.  
  1107.  
  1108. int gsl_sf_conicalP_sph_reg_e(const int l, const double lambda,
  1109.                                  const double x,
  1110.                                  gsl_sf_result * result
  1111.                                  )
  1112. {
  1113.   /* CHECK_POINTER(result) */
  1114.  
  1115.   if(x <= -1.0 || l < -1) {
  1116.     DOMAIN_ERROR(result);
  1117.   }
  1118.   else if(l == -1) {
  1119.     return gsl_sf_conicalP_half_e(lambda, x, result);
  1120.   }
  1121.   else if(l == 0) {
  1122.     return gsl_sf_conicalP_mhalf_e(lambda, x, result);
  1123.   }
  1124.   else if(x == 1.0) {
  1125.     result->val = 0.0;
  1126.     result->err = 0.0;
  1127.     return GSL_SUCCESS;
  1128.   }
  1129.   else if(x < 0.0) {
  1130.     double c = 1.0/sqrt(1.0-x*x);
  1131.     gsl_sf_result r_Pellm1;
  1132.     gsl_sf_result r_Pell;
  1133.     int stat_0 = gsl_sf_conicalP_half_e(lambda, x, &r_Pellm1);  /* P^( 1/2) */
  1134.     int stat_1 = gsl_sf_conicalP_mhalf_e(lambda, x, &r_Pell);   /* P^(-1/2) */
  1135.     int stat_P = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_0, stat_1);
  1136.     double Pellm1 = r_Pellm1.val;
  1137.     double Pell   = r_Pell.val;
  1138.     double Pellp1;
  1139.     int ell;
  1140.  
  1141.     for(ell=0; ell<l; ell++) {
  1142.       double d = (ell+1.0)*(ell+1.0) + lambda*lambda;
  1143.       Pellp1 = (Pellm1 - (2.0*ell+1.0)*c*x * Pell) / d;
  1144.       Pellm1 = Pell;
  1145.       Pell   = Pellp1;
  1146.     }
  1147.  
  1148.     result->val  = Pell;
  1149.     result->err  = (0.5*l + 1.0) * GSL_DBL_EPSILON * fabs(Pell);
  1150.     result->err += GSL_DBL_EPSILON * l * fabs(result->val);
  1151.     return stat_P;
  1152.   }
  1153.   else if(x < 1.0) {
  1154.     const double xi = x/(sqrt(1.0-x)*sqrt(1.0+x));
  1155.     gsl_sf_result rat;
  1156.     gsl_sf_result Phf;
  1157.     int stat_CF1 = conicalP_negmu_xlt1_CF1(0.5, l, lambda, x, &rat);
  1158.     int stat_Phf = gsl_sf_conicalP_half_e(lambda, x, &Phf);
  1159.     double Pellp1 = rat.val * GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1160.     double Pell   = GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1161.     double Pellm1;
  1162.     int ell;
  1163.  
  1164.     for(ell=l; ell>=0; ell--) {
  1165.       double d = (ell+1.0)*(ell+1.0) + lambda*lambda;
  1166.       Pellm1 = (2.0*ell+1.0)*xi * Pell + d * Pellp1;
  1167.       Pellp1 = Pell;
  1168.       Pell   = Pellm1;
  1169.     }
  1170.  
  1171.     result->val  = GSL_SQRT_DBL_MIN * Phf.val / Pell;
  1172.     result->err  = GSL_SQRT_DBL_MIN * Phf.err / fabs(Pell);
  1173.     result->err += fabs(rat.err/rat.val) * (l + 1.0) * fabs(result->val);
  1174.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1175.  
  1176.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_Phf, stat_CF1);
  1177.   }
  1178.   else if(x == 1.0) {
  1179.     result->val = 0.0;
  1180.     result->err = 0.0;
  1181.     return GSL_SUCCESS;
  1182.   }
  1183.   else {
  1184.     /* x > 1.0 */
  1185.  
  1186.     const double xi = x/sqrt((x-1.0)*(x+1.0));
  1187.     gsl_sf_result rat;
  1188.     int stat_CF1 = conicalP_negmu_xgt1_CF1(0.5, l, lambda, x, &rat);
  1189.     int stat_P;
  1190.     double Pellp1 = rat.val * GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1191.     double Pell   = GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1192.     double Pellm1;
  1193.     int ell;
  1194.  
  1195.     for(ell=l; ell>=0; ell--) {
  1196.       double d = (ell+1.0)*(ell+1.0) + lambda*lambda;
  1197.       Pellm1 = (2.0*ell+1.0)*xi * Pell - d * Pellp1;
  1198.       Pellp1 = Pell;
  1199.       Pell   = Pellm1;
  1200.     }
  1201.  
  1202.     if(fabs(Pell) > fabs(Pellp1)){
  1203.       gsl_sf_result Phf;
  1204.       stat_P = gsl_sf_conicalP_half_e(lambda, x, &Phf);
  1205.       result->val  =       GSL_SQRT_DBL_MIN * Phf.val / Pell;
  1206.       result->err  = 2.0 * GSL_SQRT_DBL_MIN * Phf.err / fabs(Pell);
  1207.       result->err += 2.0 * fabs(rat.err/rat.val) * (l + 1.0) * fabs(result->val);
  1208.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1209.     }
  1210.     else {
  1211.       gsl_sf_result Pmhf;
  1212.       stat_P = gsl_sf_conicalP_mhalf_e(lambda, x, &Pmhf);
  1213.       result->val  =       GSL_SQRT_DBL_MIN * Pmhf.val / Pellp1;
  1214.       result->err  = 2.0 * GSL_SQRT_DBL_MIN * Pmhf.err / fabs(Pellp1);
  1215.       result->err += 2.0 * fabs(rat.err/rat.val) * (l + 1.0) * fabs(result->val);
  1216.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1217.     }
  1218.  
  1219.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_P, stat_CF1);
  1220.   }
  1221. }
  1222.  
  1223.  
  1224. int gsl_sf_conicalP_cyl_reg_e(const int m, const double lambda,
  1225.                                  const double x,
  1226.                                  gsl_sf_result * result
  1227.                                  )
  1228. {
  1229.   /* CHECK_POINTER(result) */
  1230.  
  1231.   if(x <= -1.0 || m < -1) {
  1232.     DOMAIN_ERROR(result);
  1233.   }
  1234.   else if(m == -1) {
  1235.     return gsl_sf_conicalP_1_e(lambda, x, result);
  1236.   }
  1237.   else if(m == 0) {
  1238.     return gsl_sf_conicalP_0_e(lambda, x, result);
  1239.   }
  1240.   else if(x == 1.0) {
  1241.     result->val = 0.0;
  1242.     result->err = 0.0;
  1243.     return GSL_SUCCESS;
  1244.   }
  1245.   else if(x < 0.0) {
  1246.     double c = 1.0/sqrt(1.0-x*x);
  1247.     gsl_sf_result r_Pkm1;
  1248.     gsl_sf_result r_Pk;
  1249.     int stat_0 = gsl_sf_conicalP_1_e(lambda, x, &r_Pkm1);  /* P^1 */
  1250.     int stat_1 = gsl_sf_conicalP_0_e(lambda, x, &r_Pk);    /* P^0 */
  1251.     int stat_P = GSL_ERROR_SELECT_2(stat_0, stat_1);
  1252.     double Pkm1 = r_Pkm1.val;
  1253.     double Pk   = r_Pk.val;
  1254.     double Pkp1;
  1255.     int k;
  1256.  
  1257.     for(k=0; k<m; k++) {
  1258.       double d = (k+0.5)*(k+0.5) + lambda*lambda;
  1259.       Pkp1 = (Pkm1 - 2.0*k*c*x * Pk) / d;
  1260.       Pkm1 = Pk;
  1261.       Pk   = Pkp1;
  1262.     }
  1263.  
  1264.     result->val  = Pk;
  1265.     result->err  = (m + 2.0) * GSL_DBL_EPSILON * fabs(Pk);
  1266.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1267.  
  1268.     return stat_P;
  1269.   }
  1270.   else if(x < 1.0) {
  1271.     const double xi = x/(sqrt(1.0-x)*sqrt(1.0+x));
  1272.     gsl_sf_result rat;
  1273.     gsl_sf_result P0;
  1274.     int stat_CF1 = conicalP_negmu_xlt1_CF1(0.0, m, lambda, x, &rat);
  1275.     int stat_P0  = gsl_sf_conicalP_0_e(lambda, x, &P0);
  1276.     double Pkp1 = rat.val * GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1277.     double Pk   = GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1278.     double Pkm1;
  1279.     int k;
  1280.  
  1281.     for(k=m; k>0; k--) {
  1282.       double d = (k+0.5)*(k+0.5) + lambda*lambda;
  1283.       Pkm1 = 2.0*k*xi * Pk + d * Pkp1;
  1284.       Pkp1 = Pk;
  1285.       Pk   = Pkm1;
  1286.     }
  1287.  
  1288.     result->val  = GSL_SQRT_DBL_MIN * P0.val / Pk;
  1289.     result->err  = 2.0 * GSL_SQRT_DBL_MIN * P0.err / fabs(Pk);
  1290.     result->err += 2.0 * fabs(rat.err/rat.val) * (m + 1.0) * fabs(result->val);
  1291.     result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1292.  
  1293.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_P0, stat_CF1);
  1294.   }
  1295.   else if(x == 1.0) {
  1296.     result->val = 0.0;
  1297.     result->err = 0.0;
  1298.     return GSL_SUCCESS;
  1299.   }
  1300.   else {
  1301.     /* x > 1.0 */
  1302.  
  1303.     const double xi = x/sqrt((x-1.0)*(x+1.0));
  1304.     gsl_sf_result rat;
  1305.     int stat_CF1 = conicalP_negmu_xgt1_CF1(0.0, m, lambda, x, &rat);
  1306.     int stat_P;
  1307.     double Pkp1 = rat.val * GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1308.     double Pk   = GSL_SQRT_DBL_MIN;
  1309.     double Pkm1;
  1310.     int k;
  1311.  
  1312.     for(k=m; k>-1; k--) {
  1313.       double d = (k+0.5)*(k+0.5) + lambda*lambda;
  1314.       Pkm1 = 2.0*k*xi * Pk - d * Pkp1;
  1315.       Pkp1 = Pk;
  1316.       Pk   = Pkm1;
  1317.     }
  1318.  
  1319.     if(fabs(Pk) > fabs(Pkp1)){
  1320.       gsl_sf_result P1;
  1321.       stat_P = gsl_sf_conicalP_1_e(lambda, x, &P1);
  1322.       result->val  = GSL_SQRT_DBL_MIN * P1.val / Pk;
  1323.       result->err  = 2.0 * GSL_SQRT_DBL_MIN * P1.err / fabs(Pk);
  1324.       result->err += 2.0 * fabs(rat.err/rat.val) * (m+2.0) * fabs(result->val);
  1325.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1326.     }
  1327.     else {
  1328.       gsl_sf_result P0;
  1329.       stat_P = gsl_sf_conicalP_0_e(lambda, x, &P0);
  1330.       result->val  = GSL_SQRT_DBL_MIN * P0.val / Pkp1;
  1331.       result->err  = 2.0 * GSL_SQRT_DBL_MIN * P0.err / fabs(Pkp1);
  1332.       result->err += 2.0 * fabs(rat.err/rat.val) * (m+2.0) * fabs(result->val);
  1333.       result->err += 2.0 * GSL_DBL_EPSILON * fabs(result->val);
  1334.     }
  1335.  
  1336.     return GSL_ERROR_SELECT_2(stat_P, stat_CF1);
  1337.   }
  1338. }
  1339.  
  1340.  
  1341. /*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Functions w/ Natural Prototypes *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*/
  1342.  
  1343. #include "eval.h"
  1344.  
  1345. double gsl_sf_conicalP_0(const double lambda, const double x)
  1346. {
  1347.   EVAL_RESULT(gsl_sf_conicalP_0_e(lambda, x, &result));
  1348. }
  1349.  
  1350. double gsl_sf_conicalP_1(const double lambda, const double x)
  1351. {
  1352.   EVAL_RESULT(gsl_sf_conicalP_1_e(lambda, x, &result));
  1353. }
  1354.  
  1355. double gsl_sf_conicalP_half(const double lambda, const double x)
  1356. {
  1357.   EVAL_RESULT(gsl_sf_conicalP_half_e(lambda, x, &result));
  1358. }
  1359.  
  1360. double gsl_sf_conicalP_mhalf(const double lambda, const double x)
  1361. {
  1362.   EVAL_RESULT(gsl_sf_conicalP_mhalf_e(lambda, x, &result));
  1363. }
  1364.  
  1365. double gsl_sf_conicalP_sph_reg(const int l, const double lambda, const double x)
  1366. {
  1367.   EVAL_RESULT(gsl_sf_conicalP_sph_reg_e(l, lambda, x, &result));
  1368. }
  1369.  
  1370. double gsl_sf_conicalP_cyl_reg(const int m, const double lambda, const double x)
  1371. {
  1372.   EVAL_RESULT(gsl_sf_conicalP_cyl_reg_e(m, lambda, x, &result));
  1373. }
  1374.